RELACION TUTORA: MATEMATICAS SECUNDARIA: elvalor de P

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El valor de P

Sandra Ortíz Martínez

Artemio Ríos Rivera

Ucum Cab Macedo Martínez

 El estudiante debe adquirir en su trabajo personal la más amplia experiencia posible. Pero si se le deja solo frente a su problema, sin ayuda alguna o casi sin ninguna, puede que no progrese. Por otra parte, si el maestro le ayuda demasiado, no se le deja nada al alumno. El maestro debe ayudarle, pero no mucho ni demasiado poco, de suerte que le deje asumir una parte razonable del trabajo.

G. Poyla

El presente trabajo se inicia en diciembre de 2009 en la ciudad de México, a partir de una propuesta institucional de la Secretaría de Educación Pública, que ha implicado la búsqueda de estrategias que atiendan las necesidades específicas de los alumnos de aquellas escuelas de educación básica que presentan los resultados más bajos en el logro educativo.

Los involucrados, Sandra (la Tutora) como parte del equipo nacional del Programa Emergente para la Mejora del Logro Educativo (PEMLE),  Artemio (el Tutorado) como representante del Estado de Veracruz al Nodo Base de dicho programa y Ucum Cab Macedo Martínez (la Tutorada) integrante del Nodo Base del Estado de Guerrero.

En un primer encuentro la Tutora y el Tutorado no trabajaron juntos, ambos desarrollaron sus actividades con diferentes equipos y tutores o tutorados. Sin embargo, la primera explicó la naturaleza del trabajo y sugirió que el Tutorado trabajara un tema de matemáticas con quien le tocara interactuar, el Tutorado se negó y trabajó un tema de Español. Sin entender que se trataba de hacer un ejercicio que involucrara sus debilidades académicas más que sus fortalezas.

Un segundo encuentro fue en febrero de 2010 en Pátzcuaro, Michoacán, donde Tutora y Tutorado tuvieron ya una interacción directa, esto como producto de la estrategia central del PEMLE, basada en la construcción de redes de apoyo tutoral en educación básica, estas redes implican la profesionalización de actores educativos a través del estudio independiente de los contenidos programáticos y su involucramiento en la enseñanza aprendizaje de las asignaturas de matemáticas y español. En ese sentido la propuesta de la tutora fue la misma y acordaron trabajar un tema de matemáticas: El valor de P. Ese es el proceso que se aborda en el presente documento y su implicación en un segundo proceso de tutoría.

Este texto se ordena entre la ciudad de México y Xalapa, Veracruz, en junio de 2010.  Tutora y Toturado creían tener un proceso redondo, sin embargo, en la lógica misma de la creación de redes de tutoría, el Tutorado devino en “Tutor de segunda generación” con una nueva Tutorada (Ucum Cab). Por lo tanto, se integran los registros de esta nueva relación de tutoría, sobre el mismo tema de matemáticas; aunque inicialmente se pensó que no cobraría relevancia este segundo ejercicio, que no valía la pena su inserción en el presente documento porque sería totalmente repetitivo, el giro que propuso la nueva Tutorada hizo que valiera la pena tomar en cuenta ese momento, que era distinto por la forma en que se desarrolló, mismo que da la idea, clara, de lo vivo del proceso y de que si se pretende cerrar ahora, es sólo con fines metodológicos, para sacar una foto fija y plasmarla en este escrito. En la medida que el tema siga rodando, podrán escribirse otras historias.

Tomando en cuenta todo lo anterior, el documento queda estructurado de la siguiente manera: después de esta introducción se presenta el Guión de Tutoría de primera línea, por llamarlo de alguna manera, que detona el proceso y que es la herramienta de trabajo con el que la Tutora se acercó al Tutorado. Metodológicamente, ambos actores tuvieron que redactar, desde la perspectiva de cada uno, la experiencia pedagógica vivida durante el proceso, por esa razón enseguida se presentan los registros del Tutorado y la Tutora, en ese orden. Después el Tutorado escribe su propio guión para estar en condiciones de reabrir el proceso con nuevos actores, pero no parece conveniente documentar aquí más que el primer guión porque, a pesar de la especificidad de cada uno, podía parecer muy repetitivo al lector.

Una vez que el Tutorado permuta su función, y se vuelve Tutor de Ucum. Se hace necesario recuperar el registro del nuevo proceso de los dos participantes, mismos que se incorporan al presente texto. Finalmente, el trabajo cierra con una breve mirada reflexiva a todo el proceso en una retrospectiva que se pretende global.

Guión de tutoría, Valor de P

Como discurso, las matemáticas establecen un cierto universo: las matemáticas son un modo de ver el mundo, y de pensar sobre él.

Godino y Llinares

Tutor: Gustavo Daniel Gaona Vargas

Aprendiz: Sandra Ortiz Martínez

Grado, Nivel, Unidades diagnósticas:

6º. Primaria. Longitud y área (Cálculo). Calcular áreas de triángulos, cuadrados y rectángulos con las fórmulas convencionales por medio de figuras geométricas.

1º. Secundaria. Significado y uso de las literales. Identificar el problema que corresponde a una ecuación dada de la forma ax=b, con a y b números naturales o viceversa (donde será necesario que el alumno traduzca la expresión algebraica dada a lenguaje verbal).

2º. Secundaria. Significado y uso de las literales. Identificar el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas con coeficientes enteros que resuelve un problema planteado en contextos de números perdidos o escondidos, perímetros de figuras, dinero, velocidad, capacidad, compras, etc.

2º. Secundaria. Significado y uso de las operaciones. Resolver problemas (calcular el valor de x) en los que se involucren ecuaciones sencillas que impliquen realizar el cálculo, respetando la jerarquía de operaciones y las operaciones entre paréntesis.

Resolver problemas que impliquen cálculos de potencias enteras positivas de la misma base.

El problema plantea:

1.      Un cuadrado tiene perímetro P y área Q. Dada la ecuación 3P=2Q, determina el valor de P.

Aprendizajes mínimos esperados:

La única noción que tenía como referencia para resolver la ecuación que plantea el problema era la de perímetro y la manera en que se calcula, es decir que las herramientas para resolverla debí construirlas en el camino. En general y relacionado directamente con lo que plantea el problema comprendí la lógica de razonamiento del algebra, la manera en que construye representaciones de situaciones o elementos específicos, en este caso, referidos a un contexto geométrico. Comprendí los mecanismos básicos que se usan para conocer una incógnita en una ecuación simple. Las herramientas que me hicieron falta en el camino fueron la noción de área y la manera de calcularla en un cuadrado, lo que representan las unidades lineales y cuadradas; la suma, resta y multiplicación de quebrados.

Dificultades y estrategias de resolución:

Mi dificultad inicial fue entender qué se hace en una ecuación, no tenía ninguna herramienta, así que mi tutor me explicó qué es una ecuación y cómo funciona, en términos gruesos, su mecanismo.

Al acercarme para intentar dar una primera respuesta, mi primera dificultad fue la noción de área y la manera de calcularla. Estrategias de resolución: la estrategia que uso mi tutor fue proporcionarme un texto muy sencillo en donde se acercan definiciones sobre área y perímetro, así como la manera convencional de calcularlas. Posteriormente me preguntó si es que sabía cómo se llaman las unidades en las que se representa el valor del perímetro, así como las del área, me explicó en ambos casos las razones y lo ejemplificó con un dibujo sobre el cual yo trabajaba.

La siguiente dificultad fue entender que L representa un valor y cuando lo hace pierde su referente obligado a la figura geométrica, es decir, es una representación. Estrategias de resolución: En este caso Tavo me ayudó haciéndome preguntas sobre el primer ejercicio que realicé para intentar hacer gráfico lo que decía la ecuación, en dónde dibujé los cuadrados y explicaba que no correspondía, él me preguntaba sobre lo que decía el problema ¿a que se refiere con valor?, ¿qué es el perímetro?, ¿qué es el área? Me ofrecía ejemplos o metáforas para que pudiera acercarme a la representación. Las preguntas que fueron centrales para poder entender fueron: ¿cómo se define P? y ¿cómo Q?, y ¿qué tienen en común? Cuando lo comprendí aprovechó para hablar sobre la función del algebra, lo que permite como herramienta práctica, porque yo sabía que como herramienta del pensamiento sirve. Me explicó algunas características básicas que operan en el algebra como mecanismo que sintetiza: Unir términos semejantes y el despeje.

A la hora de ir haciendo las operaciones no tuve dificultades fuertes porque entendía la lógica y el sentido de síntesis que se busca con operaciones como el despeje o la reducción de términos.

Posteriormente, para desarrollar el mismo ejercicio con base en la tutoría que siguió Pilar, inicié yendo directamente a la ecuación intentando trabajar sin el referente geométrico, mi primera dificultad fue reconocer otro tipo de representación para L. Estrategias de resolución: Pili me hacía preguntas como: ¿Qué es P? y me ofrecía ejemplos para que problematizara. Cuando ya estaba cerca de la comprensión ella me ofreció resolver la ecuación que con el ejercicio anterior yo podía comprender con los elementos que aprendí: P=4L, esto terminó de clarificarlo.

Una nueva dificultad fuerte fueron las fracciones, tenía noción de qué son y cómo se representan gráficamente, pero su función dentro del algebra asentó su función de división, en este caso era necesario fraccionar P para poder representar L. Estrategias de resolución: la estrategia que siguió Tavo fue pasarme unos textos que definen cómo se suman, restan, multiplican y dividen fracciones. En este caso, como me quede estudiando sola y el proceso fue interrumpido, para reiniciarlo, me ayudo mucho recuperar mi sistematización para saber por qué lo que seguía era seguir estudiando sobre fracciones, y como lo seguí sola me sirvió leer, preguntarme y escribir lo que iba haciendo, me dio claridad en muchas cosas, sobre todo preguntarme ¿qué pasa con la unidad fraccionada cuando hacemos una operación en fracciones? E intentar representarlo gráficamente.

Después se reincorporó Tavo y me tope con que regresaba a geometría para poder ser precisa en la resolución del problema, no fue necesario regresar a la referencia gráfica, pero sí al sitio al que pertenece el problema, mi resistencia inicial era regresar a ella. Estrategias de resolución: Tavo escuchaba mis preguntas y las respondía, pues mi angustia era grande, quería que me enseñará las convenciones del algebra, pensando que es lo que saben el resto a quienes quizás iba a tutorar, pero después de escuchar sus respuestas, me tranquilice y resolver la ecuación otra vez fue sencillo. Estaba un poco ansiosa y desconfiada, así que Tavo tomó el lápiz y fue escribiendo las respuestas que yo daba, resaltando que podemos seguir otras opciones, pero que era importante tomar decisiones con criterios según la lógica del algebra: simplificar, sintetizar.

Frente a mi angustia por saberlo todo para poder tutorar bien, me ofreció alternativas que me dan mucha confianza como la honestidad y transparencia de quien tutora con su tutorado, localizar con precisión dónde está el error y continuamente preguntar ¿por qué…? Buscar lo que significa cada operación del aprendiz (operación como movimiento intelectual del tutorado en el desarrollo del ejercicio) en la lección.

REGISTRO DEL PROCESO DE ESTUDIO: La visión del Tutorado.

La evaluación debe ser el motor del aprendizaje y es inseparable de los procesos de enseñanza y aprendizaje ya que aprender conlleva detectar problemas, superar obstáculos, reconocer errores y rectificarlos.

Competencia Matemática: Educación Secundaria. http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.net/r43-

Con la indicación de resolverlo, fue dado el siguiente problema de matemáticas:

Un cuadrado tiene un perímetro P y un área Q. Dada la ecuación 3P=2Q, determina el valor de P.

Mi experiencia en el proceso fue la siguiente:

1. La tutora propuso elegir en un menú de tres temas y dos asignaturas (matemáticas y español).

2. Elegí la asignatura de matemáticas, cuyo único tema tenía que ver con álgebra. Significó para mí un conflicto cognitivo, hubiera preferido español. Pero, bajo el argumento, de la tutora de que son temas a los que se enfrentan cotidianamente los alumnos de secundaria, que nosotros les pedimos que los resuelvan como parte de su experiencia curricular y luego (los docentes, los asesores técnicos) no los queremos encarar bajo el argumento de: “no es mi especialidad” o dando por hecho que son temas básicos que dominamos y por lo mismo no es necesario detenerse en ellos en los procesos de capacitación y actualización docente. Ante la contundencia de la argumentación no me quedó de otra, no muy a gusto decidí: trabajo el tema de matemáticas.

3. La tutora me entregó un problema y me pidió resolverlo como yo pudiera, podía consultarla en cualquier momento. El problema era el siguiente:

Un cuadrado tiene un perímetro P y un área Q. Dada la ecuación 3P=2Q, determina el valor de P.

4. Leí el planteamiento y traté de comprenderlo. Se trataba de una ecuación algebraica de primer grado que involucraba perímetro y área de un cuadrado. Recordé las fórmulas del área y del perímetro.

5. Dibujé la figura geométrica, pensé que visualizándola sería más fácil buscar la solución, pero no me ayudo. La situación parecía muy abstracta. Entonces escribí las fórmulas de perímetro y área, utilizando las literales que las designaban en el problema. P= l+l+l+l               Q= (l)(l)

6. Sustituí en la ecuación el valor de P y Q.            3(l+l+l+l)=2 [(l)(l)]

7. Intenté varias formas, todas por la vía de la ecuación algebraica. Después de varios errores e intentos fallidos, llegué al resultado, pero tenía dudas en uno de los pasos desarrollados. Tenía confusiones entre algunas propiedades de la igualdad, del neutro multiplicativo y como convertir una ecuación de segundo a primer grado. Realicé operaciones.     

3(4l)=2(l²)                                       12 l = 2(l²)

8. Apliqué propiedades de la igualdad. Para ir despejando la incógnita.

Simétrica                                           2(l²)=12 l           La propiedad simétrica es como un espejo, el cristal es el signo de igual, lo que está de un lado y otro tienen que parecerse, ser equivalentes o simétricos. Permitió que los términos se intercambiaran de miembro.

Resolví operaciones                     l²=12l/2                             Inverso multiplicativo, el dos que multiplicaba a la incógnita en el primer miembro, paso al segundo dividiendo.

                                                               l²=6 l

                                                               (l)(l)=6l                              Descompuso la “l” en factores.

Neutro multiplicativo                  (l)(l)/l=6l/l       Como es necesario desaparecer una “l” del primer miembro y la “l” del segundo miembro, apliqué el neutro multiplicativo, es decir, ambos miembros los dividí por la misma expresión (l), lo que hizo que en el primero quedara la incógnita sola “l” y en el segundo miembro desapareciera quedando solamente el término independiente, es independiente porque tiene un valor que no varía, a diferencia de la incógnita que varía.

Resolví operaciones                     l=6

9. Haciendo uso de mis conocimientos previos pude recordar algunas fórmulas y propiedades de la igualdad que me facilitaron la resolución del problema. La verdad no sabía que sabía esas cosas de matemáticas. Son temas que trabajé hace muchos años como profesor de telesecundaria. Los conocimientos, caóticos e inacabados, fueron emergiendo y ordenándose a partir de un objetivo: encontrar la solución al problema planteado.

10. En la discusión con la tutora, lo que me ayudó a ordenar mis ideas, encontré un problema de confusión e inseguridad de lo que estaba haciendo. Ella no me aclaró, pero me ayudo a pensar la discusión que sostuvimos. Así entendí que al elevar al cuadrado un lado (en el caso del área)  quería aplicar el inverso, raíz cuadrada, y eso me complicaba la solución. Llegaba intuitivamente a la dimensión del lado, pero no correspondía a lo que expresaba la ecuación. Pude aclarar el punto que me parecía oscuro, tenía que descomponer la incógnita, elevada al cuadrado, en sus factores. Aún, mientras escribo este relato, estoy seguro del resultado, pero me siento inseguro del procedimiento que hice, y me parecen temerarias algunas de mis afirmaciones. Es decir, si alguien me corrige la plana, me hará un favor.

11.  La dimensión del lado fue de 6 unidades.

12. Saqué el valor de P, utilizando la fórmula del perímetro y sustituyendo el valor de “l”, el resultado fue. P=24

13. Comprobé el resultado en la ecuación propuesta por el problema. Sustituí el valor de P

3P=2Q                                                                3(24)=2(36)

3(24)=2(Q)                                                     72=72

2Q=72

Q=72/2

Q=36

14. Después la tutora me pidió que, por escrito, señalará: qué herramientas, desde mi formación, utilicé para resolver el problema. Las escribí y comentamos sobre ellas y las dificultades que ella tuvo al resolver el problema. Ese diálogo me confortó, me hizo sentirme menos torpe en la resolución.

15. La tutora me pidió escribir un guión de tutoría basado en la experiencia tenida. No sabía si este relato era el guión de tutoría o la relatoría de la experiencia, o ambas cosas.  Esta duda la compartí con la tutora y parece ser la sistematización de la experiencia. Con este documento como base, me parece muy sencillo hacer posteriormente el guión que me servirá para una intervención pedagógica.

Comentario:

Ante el cuestionamiento, qué herramientas, desde mi formación, utilicé para resolver el problema. Se puede aventurar lo siguiente:

Primeramente hay que leer el problema y tratar de comprender qué es lo que se busca y cómo caminar hacia esa solución. La lectura implica reconocer y traducir el lenguaje algebraico, el uso de letras que representan un valor numérico que nosotros desconocemos, de literales que son constantes y otras que varían su valor o su denominación. Lo que quiero decir es que la dimensión de un lado de una figura geométrica varía de figura a figura, pero su denominación en una formula generalmente es la misma. No estoy hablando de variables (valor de X) y constantes (valor de pi), por contradictorio que parezca, sólo trato de explicarme lo que hice.

Es necesario entender que hay una lógica formal que se cumple en la lógica matemática, contenida, por ejemplo, en las propiedades de las operaciones o en la traducción del lenguaje algebraico a lenguaje común. No siempre sabe uno cómo resolver un problema, pero tiene elementos, herramientas que le permiten a uno ensayar posibles soluciones, reflexionar sobre los errores cometidos en el proceso e irnos acercando a la solución del problema planteado por una o varias vías, es decir: detectar problemas, superar obstáculos, reconocer errores y rectificarlos, como reza el epígrafe del presente apartado.

Al hablar de lenguaje y lógica matemática estamos hablando de pensamiento abstracto y procesos de abstracción. Me parece difícil explicar la matemática con palitos y bolitas, creo que es posible, pero me cuesta trabajo en algunos casos y con algunos temas. Finalmente no me quedó más que agradecer la tutoría proporcionada que me ha ayudado a saber algunas cosas que no sabía que sabía o que podía saber a partir de mis propios medios.

REGISTRO DE TUTORIA: La perspectiva de la Tutora.

…frente a la ambigüedad propia del lenguaje natural, el lenguaje matemático implica la abstracción de lo esencial de las relaciones matemáticas implicadas en cualquier situación, lo que permite un aumento del rigor que viene dado por la estricta significación de los términos.

Carmen Gómez-Granell

El trabajo con el maestro Artemio fue difícil desde el inicio, pues si bien la matemática no es su área de fortaleza académica, tampoco lo es de debilidad propiamente dicha, es decir, trabajar un problema matemático no significó un reto cognitivo, sino un reto al deseo.

Inició el trabajo con disgusto y planteando argumentos serios y profundos con respecto a las razones para no querer estudiar un tema matemático, no obstante, su disciplina posibilitó llevarlo hasta el final. Mis únicas herramientas como tutora frente a la situación fueron las de insistir en la invitación a plantearse que tanto las herramientas para resolverlo, como los puntos de anclaje para rearticular la posibilidad de trabajarlo y de tutorar, estaban siempre ahí, siempre dentro.

En el desarrollo del ejercicio, que Artemio desarrolló solo y con base en lo que sabía, el único puente que claramente reconocí en el proceso fue el que construyó al reconocer que las matemáticas, como la lengua con la que cotidianamente nos comunicamos y con la que él disfruta expresar poéticamente la vida, es un sistema de representaciones y que en el caso de las matemáticas hacerlas prosa, facilita, las hace comprensibles.

El maestro inició procesos de tutoría con otros compañeros y fue claro que situarse en esa posición le permitió no sólo la mejor comprensión y resignificación de algunos elementos de la tutoría, sino también reflexiones importantes al respecto de los procesos de formación de docentes, por ejemplo la de considerar tener guiones distintos para maestros y alumnos.

En las tutorías que el maestro ofreció pudo concluir un guión de tutoría nuevo que desarrolló para trabajar el acercamiento de estudiantes de secundaria a la poesía, los textos que selecciono fueron “Niño yuntero” y “Aceituneros” de Miguel Hernández, considerando que estos son un acceso no sólo a un autor sino a una generación de poetas.

En el proceso de elaboración de un nuevo guión hubo cosas particularmente significativas para mí, pues fue la primera vez que apoyaba este proceso, de las cuales resalto la importancia de la concreción (la toma de decisiones) en la construcción de un recorrido para revisar un contenido, es decir, la conciencia del especialista de que para alguien que no es experto en un campo resulta relevante que se ofrezca algo específico y las claves para conocerlo a profundidad, sin perder rigor y con la posibilidad de entusiasmar a los estudiantes, en la medida que comprende las lógicas que se guardan en las actividades y en los textos, su referencia a algo más general como lo puede ser un campo disciplinar o una manera de acercarse a conocer.

REGISTRO DEL PROCESO DE APRENDIZAJE: Una mirada nueva.

Ucum Cab Macedo Martínez

Problema matemático:

Un cuadrado tiene perímetro P y área Q. Dada la ecuación 3P=2Q, determina el valor de P.

Leí el problema 2 o tres veces sin encontrar la forma de resolverlo, ya que no me da valores, solo una igualdad: 3P = 2Q.

Dibuje un cuadrado para imaginar una forma de resolverlo y aún así seguía sin poder identificar el procedimiento.

Como no tenía un valor para el lado y para obtener el perímetro sólo le di el valor "L"  a cada lado para poder decir que el perímetro es igual a la suma de sus lados, representándolo de la siguiente manera:

P = ( L + L  + L  +L   )

Con este mismo razonamiento di valor a Q, sabiendo que el área de un cuadrado se obtiene multiplicando lado por lado, quedando así:

Q = ( L ) (L )

El único dato que me proporciona el problema es la igualdad 3P=2Q, es lo único que puedo utilizar para obtener el valor de P, que es lo que me está pidiendo el problema.

Retomé la igualdad y sustituí los valores de P y Q:

           3 P = 2 Q

3 ( L + L  + L  + L  ) = 2 ( L ) (L  )

Realicé las operaciones y resultó:

3 ( 4  L ) = 2 ( L )²

Realicé la multiplicación de los coeficientes y obtuve:

12  L = 2   L ²

Para encontrar el valor de L  había que despejar L  ², quedando así:

12L/2=2/2 L ²

Al realizar la división resultó: 

                                                                      6 L=     L ²

Continuando con el despeje de L  quedó así:

                                                                      6 =     L ²/L               

Dando como resultado:

6 =   L 

Si cada lado vale 6, entonces podemos decir que el perímetro de la figura mide 24 y el área mide 36:

P = ( L+ L  + L  + L  ) = 6 + 6 + 6 + 6 = 24

Q = ( L ) ( L  ) =  ( 6 ) ( 6 ) = 36

Como al inicio mencioné, el único da que nos da el problema es una igualdad, por lo que al sustituir los valores de P y Q obtuve:

3 P = 2 Q

3 ( 24 ) = 2 (36 )

72 =72

Después de resolver el problema, planteamos situaciones hipotéticas de desconocimiento que nos permitieron diseñar estrategias para ayudar al tutorado a construir conceptos que le permitan resolver el problema.

Planteando entonces que no sé cómo resolver el problema, no recuerdo conceptos y no entiendo el planteamiento del problema me pidió que leyera en voz alta el problema.

Después de leerlo, mi tutor me preguntó cuáles eran los términos o conceptos que estaban en el problema, a lo cual respondí que: el cuadrado, perímetro, área, ecuación, etc.

Mi tutor me pidió que dibujara un cuadrado y le dijera algunas de sus características, a lo cual comente que un cuadrado es una figura geométrica, plana, de cuatro lados rectos y 4 ángulos rectos también.

A partir de este momento mi tutor y yo plateamos algunas formas de cómo ayudar a construir conceptos tales como:

Perímetro: tomar un popote y doblarlo para formar un cuadrado, de manera que al volver a desdoblarlo, el tutorado se dé cuenta que el perímetro es una medida lineal.

Área: Dibujar un cuadrado y marcar medidas lineales en sus lados, unir las marcas para observar que el área es una medida cuadrada y la relación entre la fórmula para obtenerla y su representación.

Lenguaje algebraico: Cuestionar al tutorado de qué forma puede marcar un lápiz sin tener que poner su nombre completo, si utiliza sus iniciales entonces guiarlo a la reflexión de que el lenguaje algebraico permite referirnos a algo de forma más simple que además permite un lenguaje común para realizar las operaciones.

En un tercer ejercicio para resolver el mismo problema busqué una forma diferente de resolverlo utilizando fracciones, partiendo de que el perímetro lo tome como un todo, una unidad y como la figura de referencia es un cuadrado, pues cada lado representa un cuarto del perímetro.

                                         L= (1/4) P =  P/4

Entonces, sí cada lado representa un cuarto del perímetro podemos decir que el perímetro es igual a 4 veces una cuarta parte de éste:

                                         P=4(P/4)

Entonces este valor de perímetro y lado ya es posible sustituirlo en la igualdad que se plantea en el problema y hacer las operaciones ya que tengo un término común que es P, quedando así:

                                     3[4(P/4)]=2Q

Como Q es igual a multiplicar lado por lado entonces Q lo sustituí por el valor del lado multiplicado por sí mismo:

                                           3[4(P/4)]=2(P/4)(P/4)

Realicé las operaciones necesarias respetando la jerarquía de las operaciones, iniciando con las señaladas entre paréntesis.

3(4/4P)=2(P^2­/16)

(12P/4)= 2(P^2­/16)

3P=2P^2­/16

(16) 3P= 2P^2­

48P=2P^2­

48/2P= P^2­

24P= P^2­

24= P^2­/P

24= PP/P

24= P

REGISTRO DE TUTORIA: De aprendiz a tutor.

Cuando Sandra me propuso  tutorar el tema que ella y yo habíamos trabajado, contesté que sí, como un trabajo de trámite. Me presentó a Ucum, yo le dí el problema con la consabida instrucción de que lo resolviera con sus propios medios, como ella pudiera.

Ucum se fue y regreso en un rato con el problema resuelto correctamente, me pareció que las cosas se simplificaban.  Cuando me explicó su proceso para la resolución del problema me di cuenta de que, fuera de algunas breves dificultades por que el problema no planteaba ningún valor conocido, el problema no había significado para Ucum un conflicto cognitivo. Le propuse que lo qué había hecho lo relatara por escrito y que las expresiones algebraicas las tradujera al lenguaje común en su relato. Al rato regresó con su registro, le propuse algunas modificaciones sencillas y la consabida propuesta de que ahora hiciera su guión de tutoría. El trabajo no había significado ningún reto, me sentía satisfecho del desempeño de Ucum y cómodo por que no había yo hecho gran cosa.

Entonces Ucum propuso que le tutorara la resolución del problema desde el supuesto de que ella no sabía nada para resolverlo. En broma me negué, en broma insistió, me causó incertidumbre porque no sé mucho de matemáticas. Comentamos la propuesta de Ucum con Sandra y a ella le pareció bien. Ante el reto que me significaba, ante la incertidumbre, Sandra propuso darnos su registro de proceso para ver si nos servía, yo pedí prestado un libro de algebra, sobre la mesa navegaba un diccionario que parecía útil para un niño de primaria, prometía muy poco.

Empezamos con la lectura del problema y la pregunta de qué es un cuadrado, la figura podía identificarse y trazarse, no se podía definir. Aunque fuimos a la definición con los elementos que dan los lados, los ángulos, las paralelas y los lados iguales, pensamos que la definición no era algo necesario para la resolución del problema, sí el conocimiento pragmático, empírico de la figura.

Después vino la cuestión del perímetro. Fuimos al diccionario básico y nos remitió a la línea que limita una figura plana, agregando la idea de contorno. Sobre el trazo del cuadrado señalamos el contorno y acordamos que un popote podría servir para que el niño forme un cuadrado, reconozca los lados, lo desdoble y mida el popote para encontrar la medida del perímetro y de ahí reflexionar en cómo se sumaron los lados, para ir a la idea de contorno, perímetro, suma de la dimensión de los lados de la figura. Ahora sería conveniente que el niño escribiera, en lenguaje común, cómo se obtuvo el perímetro, podría quedar algo así:

Perímetro es igual a lado, más lado, más lado, más lado.

Ahora la dificultad estaba en cómo el niño podría expresar la expresión anterior en lenguaje algebraico, el razonamiento se propuso conducirlo de la siguiente manera:                

Le pedí a la tutorada que escribiera su nombre completo. Después le dije que imaginara estar en el aula, que meteríamos los lápices de todo el grupo en un recipiente, ¿cómo haría para reconocer el suyo?, le pongo una marca, me dijo. Pero, si queremos que cualquiera sepa que el lápiz es tuyo y que todos sepamos de quién es cada lápiz.  Le pongo mi nombre, abundó. Ahora la objeción fue que el espacio era muy pequeño para poner todo el nombre. Le pongo mis iniciales, remató. Ahí queríamos llegar.

Algo similar pasa en la expresión algebraica, en algunos casos usamos iniciales que se independizan de su nombre y vamos formando un nuevo lenguaje, el lenguaje algebraico, ¿cómo quedaría expresado el perímetro con iniciales?

La tutorada escribió:     P=l+l+l+l

Ahora el problema era el área.  La primera idea que expresó la tutorada fue, lo de adentro. Teníamos una taza con café, lo de dentro servía pero era insuficiente, podía confundirse. Fuimos la diccionario que nos dijo que era la superficie comprendida dentro de un perímetro. Como ahora la medida no es del contorno, sino de la superficie dentro de ese contorno, la pregunta era, ¿cómo se mide la superficie de adentro de la figura? Quedamos que se podía hacer en pedacitos, como una hoja de papel si la cortamos en pedazos iguales, cada pedazo podría ser una unidad de medida. El dividir en partes iguales la superficie del cuadrado nos llevo a la cuadriculación del mismo.

La figura quedó más o menos así:

 Ahora visualizábamos que la unidad de medida del área era un cuadrito por eso es que el área se expresa en medidas cuadradas y no lineales. Ahora fuimos a la idea de sumar línea por línea de cuadritos, los que nos llevó al razonamiento de que la multiplicación era una operación más sencilla que la suma ya que simplificaba la operación:

5+5+5+5+5=5x5 Ahora podía tener significado la formula del área.

A=(l)(l)                 A=l²

Ahora ya habíamos construido, desde lo concreto, desde nociones simples elementos abstractos y un poco complejos: perímetro, área, lenguaje algebraico.

Ahora teníamos que enfrentarnos a la ecuación, las propiedades de la igualdad y la resolución de operaciones.

Con la idea de cambiar un billete razonamos sobre la cuestión de la equivalencia, como un billete de $ 100.00, por ejemplo, puede ser sustituido por 10 monedas de $10.00 y la cantidad era la misma. Así en la ecuación original podíamos sustituir el perímetro P y el área Q en la ecuación original.

3P=2Q

De aquí en adelante, desde mi punto de vista, es mucho más claro resolver la ecuación y encontrar el resultado.

En términos generales así se llevó a cabo la tutoría con Ucum Cab.

RETROSPECTIVA: Esbozo metacognitivo.

Los significados se pueden elaborar por medio de negociaciones sobre ciertas convenciones en la interpretación de signos, situaciones y conductas. El resultado final de estas negociaciones tiene propiedades emergentes: por la interacción, las contribuciones individuales pueden añadir algo sobre lo que nadie en particular había pensado y anticipado.

Godino y Llinares

Observar tan minuciosamente un proceso de estudio y enseñanza en relación tutora, podría parecer un ejercicio ocioso, no obstante, más allá de los caminos múltiples de razonamiento matemático en que derivó la invitación de “Resuelve este problema”, es preciso subrayar aspectos que rodean este proceso de aprendizaje en el campo de la formación de profesionales de la educación.

La pregunta como detonadora del reconocimiento de lo simple, la lógica básica por la que atraviesa la construcción del conocimiento, que nunca es dado y siempre es un camino por descubrir, por construir; la necesidad de cuestionar la posición de saber de quien enseña, que también es siempre un aprendiz inserto en una relación dialéctica, que sólo por convención de los participantes en el proceso es que se sitúa como un sujeto de experiencia, vivida en un trayecto específico de aprendizaje; la riqueza de la formación de redes de aprendizaje, que supone un lugar de encuentro y nunca un lugar de llegada.

El valor de la pregunta: En el estudio en relación tutora se enfatiza el uso de la pregunta en oposición (aunque no siempre) con el de la explicación. El cuestionamiento como invitación, a quien se acerca a un tema, a la búsqueda, al descubrimiento de la lógica elemental que responde a la problematización de una temática específica. Así, redimensiona las herramientas con las que cuenta y las pone a funcionar para dotar de sentido y significado el objeto de aprendizaje, sobre todo si este ya se “conoce”, pues en este caso no sólo es un objeto para su resignificación, sino para significarlo como objeto de enseñanza. Tanto para Artemio, como para Ucum, determinar el valor de P utilizando la información que ofrecía el problema no fue un problema grave, desandar el camino para explicarlo tampoco, no obstante, ambos se enfrentaron al reto de plantearse apoyar a alguien con herramientas diferentes a las que tenían, sin la posición del especialista que “lo sabe” y lo puede explicar sin hacerlo significativo, en la enseñanza nadie “sabe exactamente” sobre el proceso de construcción del conocimiento de otro, pues nunca se aprende igual, no se tienen las mismas preguntas, dificultades e intereses.

El saber especializado de quien enseña: Si bien los tres involucrados en el proceso que se sistematiza aquí, no son especialistas en matemáticas, responder a la invitación de estudiar un tema que no necesariamente es una herramienta de uso cotidiano en sus labores y además representó un conflicto cognitivo. Esto da cuenta, desde un proceso de formación entre pares, de la necesidad de cuestionar la posición de saber de quien enseña, pues refrenda el compromiso ineludible de que en cada proceso es necesario dotar de sentido y significado lo que se aprenderá (convertirlo en un reto cognitivo) y que cada contenido, por simple que parezca, requiere de la reconstrucción de la lógica básica que constituye el andamiaje de la disciplina.

La formación de redes: En este proceso se encontraron asesores que con distintas funciones y formaciones convergen en la tarea de construir herramientas que permitan mejorar  la formación de los estudiantes de educación básica, mejorando los procesos de formación de asesores. La construcción de redes posibilita la comunicación e inserción de los individuos y grupos sociales a procesos que implican saberes o mecanismos de alta complejidad en mejores condiciones que si lo hicieran en solitario o en procesos masivos que despersonalizan a los sujetos, pues pone dichos saberes y mecanismos a disposición de quién quiera articularse y convertirse a su vez en nuevo nodo de comunicación, es por ello, que como se dijo en la presentación de este documento, el proceso aquí relatado no termina, sino que da cuenta de tres momentos que devienen en la formación de nuevos tutores quienes, modestamente, están dispuestos para compartir el proceso que vivieron al dar respuesta a un problema sencillo para el especialista en matemáticas.